线性代数
math
行列式
行列式的基本概念和性质
基本概念
- 逆序和逆序数
- 余子式和代数余子式
特殊高阶行列式
- 对角 上三角 下三角 逆三角
- 范德蒙行列式
- 分块行列式
行列式计算性质
- 行列式降阶
- 行列式等于行列式某行元素与对应的代数余子式之极的和
- 行列式一样的元素和另一行的代数余子式之积的和为0
- 行列式化简
- 行列式和其转置行列式相等
- 对调两行行列式行列式改变符号
- 某行有公因子可以提到行列式外
- 可以拆分
- 行列式某行倍数加到另一行，行列式不变
行列式计算
矩阵
矩阵的基本概念和特殊矩阵
- 矩阵就是一个列表
- 同型矩阵（m，n相对）矩阵相等（所有元素都一样）
- 伴随矩阵
特殊矩阵
矩阵的运算和性质
αβ的计算
初等变换求逆矩阵
矩阵转置
逆矩阵
⭐矩阵的秩
r（ab） = r（a）b是可逆的矩阵
矩阵等价
AB 两个同型矩阵，A经过有限次初等变换后变换为B，称AB等价
定理1 等价的充分必要条件条件是秩相等
定理2 同型的充分必要条件是存在可逆矩阵PQ，PAQ= B
题型
- 矩阵运算和矩阵行列式运算（注意向量计算）
- 矩阵的幂矩阵
- 相似对角化
- 利用零幂矩阵
- 将矩阵化成向量形式
- 分块矩阵
- 归纳法
- 初等变化和初等矩阵（初等矩阵的变化就是对矩阵的行列操作）
- 逆矩阵的计算和证明
- 判断矩阵可逆的方法
- 定义
- 行列式不为0
- 求逆矩阵
- 公式
- 伴随矩阵
- 初等变换
- 判断矩阵可逆的方法
向量
向量概念运算
- 向量（有大小又有方向的量）
- 向量的单位化（向量除以向量的模）
- 向量的内积
- 向量的运算
- 三则运算
- 内积运算
- 零向量和任何向量都正交
线性相关和线性表示
- 线性相关（向量组中至少有一个向量可以由其他向量线性表示）
- 线性表示（向量可由其他向量表示）
等价 线性无关组和秩
等价
两个同阶向量组的每个向量可以相互线性表示则等价
极大线性无关组
向量组中秩的个数个无关向量组成的向量组
秩
- 矩阵的秩=列（行）向量组的秩
- 维数相同的向量组ab，a可以由b表示，则a的秩不大于b的秩（a的自由向量要小于b的）
- 等价的向量组秩相等，反之不对（等价矩阵要求同型）
矩阵和向量的关系
题型
向量组的相关性
向量的线性表示
向量组等价和向量组的秩
- 求向量组的一个极大线性无关组，并用无关组表示
线性方程组
齐次线性方程组
线性方程组的解的定理
方程组的解的结构
线性方程组的通解
方程组的解的扩展理论
题型
方程组的理论证明
线性方程组的解的结构和性质
齐次线性方程组的解
非齐次线性方程组的通解
线性方程组的理论证明
方程组的公共解和方程组同解
特征向量和特征方程
特征值和特征向量基本概念
施密特正交
特征值和特征向量
相似的矩阵 特征值相等 特征向量为p^-1a
任何特征值都对应无数个特折向量，但其线性无关的特征向量不超过其重数
实对称矩阵的重根特征向量可以正交也可以不正交
矩阵对角化
题型
- 求矩阵的特征值和特征向量
- 公式法
- 定义法
- 关联矩阵 逆矩阵 伴随矩阵
- 特征值和特征向量的性质
- 矩阵相似的判断
- 先判断特征方程是否相等，不相等则相似
- 进行判断
- 都可相似对角化，则相似
- 一个可以相似对角化，不相似
- 都不可以相似对角化，看重根对应的线性无关特征向量
- 非实对称矩阵的对角化
- 实对称矩阵的对角化
- 矩阵的幂次
- 特征值法求未知矩阵
- 已知两特征向量，利用不同特征值特征向量正交，得另一特征向量
- 特征值特征向量的命题证明
二次型
二次型基本概念和基本型
正定矩阵和正定二次型
题型
- 二次型概念
- 二次型的标准型
- 使用配方法时候如果只有x1x2这种可以使用平方差
- 含参二次型问题
- 正定二次型的判别和证明